[真题答案]2011年1月考研数学真题及答案

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　　主持人：各位网友，大家好，今天上午刚刚结束了数学考试。我们首先请来了海天的三位名师，分别是赵老师。

　　赵睿：大家好。

　　主持人：姜老师。

　　姜晓千：各位网友，考研的朋友，大家好。

　　主持人：王老师。

　　王文：大家好。

　　主持人：今天赵老师给我们讲解高数的部分，姜老师给我们讲线代，王老师讲概率部分。首先我们问一下王老师，今年的数学刚刚结束，你感觉高数有什么特点?和往年相比改变大不大?

　　王文：高数部分我们分三个方面，从难度上来看，数一和数二的难度和往年是持平的，从2008年数三、数四合并以来一直是比较偏简单的数一的难度和2010年相比同学们做起来可能比去年不是特别顺手，去年的题目一问大家就一目了然，知道问什么，今年前面个别的一些解答题当中，可能做起来不是特别顺手。

　　数二的难度，有一些应用题，这方面如果同学们对于公式或者什么不太了解，记不清的话，可能这块答起来比较困难。

　　数三整体的题目难度都是比较偏简单的。

　　今年考试的内容的特点和往年相比，数一每年都会在解答题中出现一道曲线曲面积分的大题，但是今年很多同学说比较幸运，这块没有出现一道大题，只在填空中出了一个曲线积分的问题，但是也跟往年不太一样，历年考的都是一个平面中的曲线积分，今年考了一个空间中的曲线积分，今年在曲线曲面积分难度降低了。

　　数二还是延续了历年的思路，在数二的考试题当中都会出现一道应用题，可能会涉及到浮力，可能会涉及到利，可能涉及到引力的问题，今年考的就是功的计算，这个对同学来说在应用方面是比较简单的，在物理方面的应用。

　　数三的特点，数三在往年中，不管是填空还是最后的大题都会涉及到经济学的一些问题，但是今年恰恰经济学方面的问题都没有涉及到，也就是说数三这块如果同学对经济学一些定义概念不太清楚的话，答数三也是一点问题没有的。今年就是数一二三考试的特点。

　　主持人：赵老师感觉在平常的辅导过程中，对今年的真题涉及面多吗?

　　赵睿：这个我们进行一个比对以后，发现今年的考试题目跟我们往年考试复习的重点都切合到了。首先最简单第一个，我们平时在考试当中经常给大家强调的，让大家来掌握的比如说定义，某点导数的定义的问题今年就会涉及到，在考试的选择题中涉及到这个问题。毫无例外，每年考试题的第一个解答题都是一个求极限的问题，所以，对于求极限的方法我们经常会强调到，每次都是把第一道极限的复习作为一个重中之重，求极限的方法都会做一个详细的归类。

　　另外，无穷小的阶的比较，这个题已经不是一个新题了，所以，复习中也是给学生强调，考试中无穷小阶的比较。

　　另外，积分的比较大小，今年考的是定积分的比较大小，往年复习的时候是二重积分或者定积分的比较大小，都涉及到了，这块相信同学们做起来也是游刃有余的。

　　另外，今年考试题中出现了一个新的常见的题型，二重积分的计算的问题，二重积分往年都是给一个具体的题目让你计算，今年和往年都一个很大的不同就是对于二重积分来说，它没有给你具体的区域或者给你具体的被积函数，而给的是一个抽象的函数，这样你来计算，对于这个二重积分让你求它的计算，有些同学一拿到这个题可能感觉无从下手，但是回忆当年辅导的时候给同学们涉及到的一些内容，我们给大家强调过，如果在考试中，积分当中涉及到导数了，肯定这个题用的方法就是分步积分的方法，这道题目只要同学们想起来我们给同学们强调的问题，做这道题虽然是一个二重积分的新题，但是它做起来也是没有任何问题的，这是二重积分的新的题目跟我们以往考试涉及到的。

　　另外，今年数二当中出现一个比较新颖的题目，它求了一个无穷限的积分，有同学拿到手上可能一下感觉到没有见过类似的题型，这个题也是今年考试新的特点，它是一个学科之间的结合，这虽然是无穷限积分的求法，数一，数三的同学一眼就能看出来，这个实际上是概率当中数学期望的一个求法。所以，这个时候要求大家对学科之间的综合性比较强。另外，对于这个题，虽然同学看到比较诧异，不太清楚，但是这个题结合以往的定积分的求法，也是非常容易做出来的，再结合我们给大家提到的对于这种指数函数，指数函数求极限需要注意负无穷还是正无穷，也都是可以做出来的，对于我们平时辅导的时候，把考试中重点的题型，所有的知识点都涵盖到了，所有的题型解题的思路都给大家归纳总结过，同学们在考场上如果不是特别紧张，每道题按步就班的，应该都是可以做到的。

　　主持人：赵老师刚才总结，只要学生平常认真听讲的话，考试还是没问题的。

　　赵睿：对。

　　主持人：今年的考试形式给2012的学生什么启示，能不能给他们一些建议?

　　赵睿：从今年的辅导当中，今年的考试题当中来看，还是很多题型都是一个偏基础的问题，类似于偏基础的问题，所以，要求2012年如果参加考试的同学还是必须抓住基础的问题，从基础入手，一开始从今年3月份复习的时候，都应该牢牢抓住课本上基本的知识点，知本的题型。今年的考试或者一些题目中有些题型可能是一些新题型，比如二重积分可能比较诧异，但是拿到之后，你就回忆当时老师讲的每一种类型，基本题型的一些解法，把这些看似花里胡哨的题目分解出每个详细的知识点，看它考你什么，参加2012年考试的同学还是建议大家把基础打好，从基础入手。

　　主持人：谢谢赵老师。姜老师，你感觉今年考试有什么特点，能不能给同学举个例子?

　　姜晓千：线代三个特点，第一个它的难度并不是很大，线代最难的是()非常的麻烦，而今年正好是利用一些技巧性的方法，根本不需要()，所以，计算的麻烦程度就没有这么麻烦了，应该说线代还是比较简单的。

　　第二它有一定的技巧性。比附数一、数二、数三的同学共同考了一个题，13题，给一个()，它的质为1，它的行元素之和为3，让我们用真交变化把它划为标准形，其中一句号，行元素之和等于3，这句话大家把它看透了，实际上是什么意思?A×111=3×111，证明3是它的特征值，111是3这个特征值的特征向量，有了这个特征值为3，它只为1，这个题5秒大家就可以给出答案，它的标准形就是3倍的()的平方。

　　第三个特点，它有一定的综合性，数一数二考了第六个小题，1010是线性分成组A×=0，这个A是4×4的，大家应该把矩阵的运算和性质充分理解，把它运用到线性方程组里。它的基础解只有一个解，说明A的质等于3，A的质等于3，A的()等于1，这个非常重要，必须要掌握。A的伴随×A等于A()，如果A的质为三，说明它的行列式等于0，从而说明()，有了这个结论我们很容易得出答案是D。它的特点就这么多。

　　主持人：既然这三点里，在你平常的辅导中涉及得多不多呢?

　　姜晓千：线代整个只有五个题，我给大家讲课的过程中伊之强调线代是不允许你丢分的，因为线代的知识点比起高等数学来非常少，而且很简单，整个这些知识点，我在强化班的过程中所有的都讲到了，因为是五个题，咱们就每个题对照看一下，看当时是怎么给你讲的，考研的真题怎么样，答案是什么，你应该怎么做。

　　第五题选择题是数一数二数三共同考的考的初等变换和初等矩阵，第二章是矩阵的运算和相应的运算性质，初等矩阵和初等矩阵的逆必须要掌握，这个题不难，选D。

　　填空，数一数二数三就是刚才讲的用二次形正交变换的题。

　　数三的同学讲的第六小题，选择题，给一个线性方程组，让咱们求它的解，123是线形方程组AX=3，让咱们求一下AX=B的通解，考第四章的线性方程组的解决的结构，必须掌握解的性质，解的性质()解的差就等于其次性方程组的解。但是我给大家讲课的过程中补充了一个推论，这个题就用了这个推论，推论说如果K1，β1++，这个解是谁的解?如果K1+K2=D，如果=0，这个推论也掌握好了，整个题非常简单，答案应该选C。

　　最后两个大题，数一，数二，数三，第一个大题20个题，给了30个线性无关的向量，然后说另外一个向量没法把这三个()线性表出，让求后面的参数A等于几?说明另外三个肯定是线性相关的，线性相关的充要条件是什么?五条六条，必须掌握熟练，这个地方用到它的质小于3，它的质怎么求呢?利用初等变换换为阶梯形，这样这个A很容易求出来，等于1。有了A等于1以后，我们怎么用给的线性无关用给的三个向量?列排列以后化为阶梯型，这个题并不是很难，没有任何技巧性，方法非常的明确。

　　反观看一下21题倒是有一定的技巧性，怎么说的?给一个矩阵A，咱们很容易它给的条件求出它的三个特征向量，三个特征值，其中一个是= -1，对应的特征值()另外一个特征值是=0，这三个特征值非常容易求，关键是让你求另外一个特征向量，怎么办?这个地方A是抽象矩阵，根本不知道是什么，充分利用实对称矩阵的性质，整个线性代数第五章，特征值，特征向量非常重要的一个重点就是实对称矩阵的性质和正交对角化，不同特征值的特征向量是正交的，是对称矩阵，前面已经给了两个特征值，两个特征向量，前面两个利用正交性就搞定了，结果是010，这个特征向量给了以后，A就很容易求出来了。今年线代也不是很难，有一定的技巧性，只要你好好听课，线代完全做对是很有可能的。

　　主持人：姜老师，通过今年的试卷，给2012想考研的同学一个复习的建议。

　　姜晓千：这个问题我在导学班给同学已经反复讲过了，线代的知识点比起搞定数学比较少，只有34分，它的知识点比较少，而且比较简单。所以，我想线性代数要有一个目标，就是要拿满分，咱们看一下整个有哪一些知识点，哪一些是重要的知识点，你把我这些重要的知识点，我想线性代数学起来就异常简单，而且考试比较容易考一个高的分数。

　　首先从第一章开始看，第一章是研究行列式，这一章大家把握住两点，行列式的性质，包括它的基本性质，以及结合矩阵运算行列式的性质，一共几条。再一个行列式的计算里，尤其是把握它的暗行展开订立或者暗列展开定理。

　　第二章矩阵，比较掌握矩阵的运算，以及它相应的性质。加法、减法、速成、惩罚，行列式、之你、伴随、…他们的性质必须熟练掌握。整个矩阵就是线性代数的理论基础，如果矩阵学不好，矩阵的应用，线性，二次形，特征值，特征向量是寸步难行的，矩阵运算往往不会考你大题，它会结合矩阵的应用，也就结合后几章来考你，通过今年的考试咱们也看出来，数一，数二就是这么考的，是把矩阵的运算和性质运用到线性方程组里。第三章，大家把握住两块，线性相关，线性无关的定义，性质，它的充要条件。第二块是研究向量组的质，以及大线性无关组的求法，这部分内容也必须熟练掌握。今年数一，数二，数三都考了这个大题。第四章大家把握线性方程组的判定、性质，以及结构，整个把握住性质、判定和结构这六个字，整个这一章就OK了。

　　第五章特征值，特征向量三部分必须掌握，第一他们的定义比较知道。第二，相似矩阵它的定义，它的性质，它的充要条件，它的充分条件，必须要熟练。第三部分非常非常重要，今年也考了，21题，数一，数二，数三同时考了，实对称矩阵它的性质，它的正交相似最小化。

　　第六章把握住两部分内容，第一二次形怎么化为标准形，其中一种方法是配方法，第二种方法正交便函，配方法从来没有考过，大家知道是什么就可以了，甚至可以不知道。大家关键是掌握正交变化，正交变换说白了就是实对称矩阵正交相似或者正交合同对角化，它实际上跟第五章是一样的，所以，第五章第六章是考一个东西，就是实对称矩阵正交相似或者正交合同对角化，这个非常重要，每年是必考的。

　　第六章还有一个重点就是()，今年没考，一个充分条件，一个充要条件，今年没考，同学们注意一下，因为往年会考小题，整个线代的重点大家复习把握住这些就很好的把线代的任务完成了。

　　主持人：姜老师讲的很好，接下来王老师讲一下概率今年考试有什么特点，和往年相比变化大不大呢?

　　王文：我拿到真题里概率这部分，我非常高兴，为什么呢?因为总体来说概率相当的稳定，其实它的稳定这方面是我们意料之中的，因为我们真题是根据大纲而来的，我们知道2010年，2009年，2011年大纲一个标点符号都没变。所以，稳定是必须的。概率稳定，所以，难度是比较适中的。为什么我不说难度偏易呢?难度适中的意思就是它没有像2010年最后一个大题20年不考的变态题，题都是大家见过的，但是并不是大家见过的题目一定都能拿到分，因为计算还是有一定问题的。比如数三的最后一题和二成积分相结合，有的同学二成积分掌握的不是很好，这也是意料之中的，因为考研是一种选拔性水平测试，它一定会分阶梯，所以，一定会给我们制造障碍。但是它难度总体是适中的。第二个特点，这次概率所考的考点，海天老师面面俱到，因为我们总体来说，是按照大纲来备考的，所以，它该考什么，我们之前都已经预测到了。它的重点部分我们都已经在课堂上反复强调了，尤其今年的考试，尤其印证了这一点，叫做重者恒重，概率的重点是什么?重点就是第三章和第四章求各种随机变量的分布函数以及分布率，以及他们相应的数字特征。所以，重者恒重，尤其是数学三，两道大题，一个是考离散型，一个是考连续型，但是逃不了随机变量的函数。

　　第三个特点，概率依旧延续了以往的特色，就是综合性比较强，因为我们概率只考五个题，但是概率统计加起来一共有八个章节，所以，它的综合性强也是我们意料之中的事情，尤其概率不仅在章节之中有一种综合性，比如说我们考随机变量分布的时候，我们不会忘记考随机变量的数字特征，本学科的一个综合，另外，它的综合性还表现在它和高等数学方面的结合，这是大家平时复习中也有感觉到的，你不会求联合随机变量的分布问题，往往不是概率没有学好，而是你的重积分没有做好，所以，它的结合性是比较强的。第四个特点，概率是具有统一性的，统一性表现在什么方面?数学二不考概率，只有数学一和数学三，在五个题中，数学一和数学三有三个题是相重复的，也就是大题的第22题，以及天空第14题和选择的第17题，重复性很强，他们不同的地方是大题的第23题，以及选择题的第二题，尽管他们形式上不同，仅仅是穿的马甲不一样，只是形式不一样。所以，概率总体来说这四个方面是它比较特色的地方。

　　主持人：刚才听王老师说有的题是课堂上讲过的，大概有多少题是课堂上讲过的呢?

　　王文：我们课堂上讲过跟大家说不是每一个人都报了海天的班，所以，我想跟大家说一下，我1月7号，上个礼拜五在中国网做了一次访谈，当时主持人比较不太情愿的让我押了一次题，那是一次赌注，但是很庆幸，我那次说的题这次都遇见了，我说概率统计概率为重，统计委辅，概率的重中之重是第三章和第四章，第三章需要会求各种统计量的分布函数，我们看见数学三的第23题和22题分别是两个大题，一个是求连续型随机变量二维的联合分布以及条件分布，22题求的是离散型随机变量的联合分布，以及他们函数的分布，最后第四章是第三章的延续，我们需要会求各种数字特征期望方差相关系数，我们看到除了考分布问题，剩下今年的考题就仅仅是涉及到关于数字特征的一个计算问题了，另外，我当时说统计不分为辅，统计部分我们的要求是比较低的，同学们需要掌握两点内容。第一点各种统计量的数字特征该怎么计算，这是概率部分第四章的延续。第二点是我们需要会求点估计问题，就是最大自然估计和矩估计，其实这个估计问题我一直想提醒同学们注意为什么?因为2006，2007，2008都考了似然估计，但是2019、2010没考，我们今年数学一考了一个最大自然估计问题，数学一最后一个大题第二小题考的是统计量的数字特征问题，海天的课不是每个人都能看到，但是我在公益访谈上的课相信大家都能看见。我们能够押中这个题就是我刚才说的，一定是情理之中的，因为我们是跟着大纲走的。

　　主持人：2011年的学生已经考完了，他们可能想到调剂的问题，能不能给他们一些建议?

　　王文：实际上关于调剂的问题，老师更多的是关注于学科的研究，同学们关于调剂具体的我不能说很专业的建议，因为我们海天有非常专业的院校，以及分析师，但是在宏观上说，如果我们真的是2011年已经考完了，接下来就是复试和调剂的内容，成绩已经出来了，不论你高兴还是不高兴，分数就在那儿，不多不少，如果你的分数你觉得不怎么高的情况下，我想你应该让它发挥到它尽量的能力，也就是你应该试图寻找调剂院校，要趁早，这个属于个人主动跟院校联系的，如果你觉得自己的成绩还不错，那你肯定要立马开始你的专业方面的复试的问答问题。具体的关于该调哪个院校，我们平时老师没有做这方面的研究，我们有分析师做这方面的研究。

　　主持人：还要找海天的分析师。对2012想考研的一些同学，给他们一些复习上的建议。

　　王文：对于2012年的考生，因为考研数学从我们这次的考试都是根据大纲来的，它的知识点很多，但是它仅仅只考23个题，所以，综合性很强，基础知识点的应用要求得比较高，所以，对我们同学第一点，同学们应该抓住早这个字，什么早?早晚的早，应该提早开始复习，最好从今年寒假就开始复习，因为数学有的是题让你做，有的是概念让你理解，你光看这个概念不一定真正的理解，你必须通过大量的练习让你巩固这个概念，提早准备是比较有益的。第二，需要提醒大家一点我们一定要选对复习资料，哪些复习资料?我们必须有大纲这样一个复习资料，还必须有教材，还必须有真题。至于复习全书这种比较全方位的强化阶段的资料，最好是也能有一本，因为我们很多同学在最后考试的时候会有一个问题，它往往复习偏了，因为它从最开始没有跟着大纲走。还有一个什么问题呢?我们2008年和2009年都考到了课本上原始定理证明，尽管2010和2011年没有考，如果是大纲上规定，比如这个定理你的程度应该是掌握的程度，即使它不考原定理的证明，你对它的理解也应该是相当透彻的，关于定理的原始证明别的资料都不会有，只有教材才会有。所以，教材也很重要。另外，真题，复习全书都不用说了。

　　第三点需要注意的就是阶段性的规划这种复习计划，数学真的是一个循序渐进的学科，不可能一口吃个大胖子，也不可能临时抱佛脚，都是不可以的，一定要按照阶段一步一步不能急躁的。我们一般数学分为夯实基础阶段，强化阶段，冲刺阶段。每个阶段应用的资料和所达到的程度都不可以逾越，有的同学跟我说现在要做十年真题了，2012年考试，这根本就是不可行的，要注意数学的循序渐进。

　　第四点，考研整体来说应该是一个长期奋战的过程，心态对同学们的要求很高，不是我在初期信心满满，一定能考上，你不一定是最后能达到重点的人，坚持是最重要的，各个阶段的心态问题需要同学们注意。同学们遇到问题多跟老师沟通，跟同学沟通。

　　主持人：听了三位老师的点评，相信考研朋友收获很大，访谈最后，请三位老师分别给考研同学一些祝福的话。

　　王文：2011年的同学最想听到的祝福就是希望大家都能金榜题名，2012年的同学最想听到的应该是希望这一年能够顺利复习。

　　姜晓千：经过一年多的努力，咱们今天终于把考研攻下来了，不管结果如何，同学们记着我一句话，只要我们付出了，我们努力了，我们就没有遗憾，只有收获。

　　赵睿：预祝同学们可以在2011年金榜题名。

　　主持人：谢谢，也谢谢三位老师。