第二节 资金时间价值
一、资金时间价值的含义
时间就是金钱，这句很平常的话恰恰验证了资金时间价值的内涵。资金是有时间价值的。首先，是因为现在的一笔钱存到银行或者买成国债，一年后起码可以有利息收入。其次，通货膨胀的因素。当人们进行投资或者借出资金时，肯定要考虑物价因素，通货膨胀率越高，人们要求的回报就应该越高，以补偿物价上涨的风险。再次，投资总有各种不同的风险，投资的风险越大，回报率就必须更高，才能吸引投资者。
1.定义：资金时间价值是指一定量资金在不同时点上的价值量差额。
【提示】理解资金时间价值要把握两个要点：(1)不同时点;(2)价值量差额
2. 资金时间价值的衡量(量的规定)
理论上：资金时间价值等于没有风险、没有通货膨胀条件下的社会平均资金利润率。
实际工作中：可以用通货膨胀率很低条件下的政府债券利率来表现时间价值。
【例题12·多选题】下列哪些指标可以用来表示资金时间价值( )。
A.纯利率 B.社会平均利润率
C.通货膨胀率极低情况下的国债利率 D.不考虑通货膨胀下的无风险报酬率
【答案】ACD
【解析】选项B没有限制条件，所以不能选，应是无风险、无通货膨胀下的社会平均利润率。
二、终值与现值
终值：又称将来值，是现在一定量的资金折算到未来某一时点所对应的价值，俗称“本利和”，通常记作“F”。
现值：是指未来某一时点上的一定量资金折算到现在所对应的价值，俗称“本金”，通常记作“P”。
现值和终值是一定量资金在前后两个不同时点上对应的价值，其差额即为资金的时间价值。现实生活中计算利息时所称本金、本利和的概念，相当于资金时间价值理论中的现值和终值，利率(用i表示)可视为资金时间价值的一种具体表现：现值和终值对应的时点之间可以划分为n期(n≥1)，相当于计息期。
为计算方便，本章假定有关字母的含义如下：I为利息;F为终值;P为现值;i为利率(折现率);n为计算利息的期数。
【注意】终值与现值概念的相对性。
【思考】现值与终值之间的差额是什么?
两者之间的差额是利息.
注意：利息的两种计算方式：
单利计息方式：只对本金计算利息。以本金为基数计算利息，所生利息不再加入本金滚动计算下期利息(各期的利息是相同的)。
复利计息方式：既对本金计算利息，也对前期的利息计算利息。将所生利息加入本金，逐年滚动计算利息的方法。(各期的利息是不同的)。
注意：在计算中，不特指的情况下，指复利计息。
(一)单利现值与终值
1.单利现值
现值的计算与终值的计算是互逆的，由终值计算现值的过程称为“折现”， 由终值计算现值时所应用的利率，一般也称为“折现率”。
单利现值的计算公式为：
P=F/(1+n×i)
式中，1/(1+n×i)——单利现值系数
【例题13·计算分析题】某人希望在第5年末得到本利和1 000元，用以支付一笔款项。在利率为5%、单利计息条件下，此人现在需要存入银行多少资金?
【答案】P=1 000/(1+5×5%)=800(元)
单利现值计算主要解决：已知终值，求现值。
2.单利终值：
单利终值的计算公式为：
F =P+P×i×n
F =P×(1+i×n)
式中，1+n×i——单利终值系数
【提示】除非特别指明，在计算利息时，给出的利率均为年利率，对于不足一年的利息，以一年等于360天来折算。
【例题14·计算分析题】某人将100元存入银行，年利率为2%，在单利计息条件下，计算5年后的终值。
【答案】F= P×(1+i×n)=100×(1+2%×5)=110(元)
单利终值计算主要解决：已知现值，求终值。
【结论】
(1)单利的终值和单利的现值互为逆运算;
(2)单利终值系数(1+i×n)和单利现值系数1/(1+i×n)互为倒数。
(二)复利现值与终值
1.复利现值
复利现值的计算公式为：
上式中，(1+i)-n称为“复利现值系数”，用符号(P/F，i，n)表示，平时做题时，可查表得出，考试时一般会直接给出。
【例题15·计算分析题】某人存入一笔钱，想5年后得到10万，若银行存款利率为5%，要求计算下列指标：
(1)如果按照单利计息，现在应存入银行多少资金?
(2)如果按照复利计息，现在应存入银行多少资金?
【答案】
(1)如果按照单利计息：P=F/(1+n×i)=10/(1+5×5%)=8(万元)
(2)如果按照复利计息：P=10×(P/F，5%，5)=10×0.7835=7.835(万元)
2.复利终值
复利终值的计算公式为：
F=P(1+i)n
在上式中，(1+i)n称为“复利终值系数”，用符号(F/P，i，n)表示。这样，上式就可以写为：F=P(F/P，i，n)
【提示】在平时做题时，复利终值系数可以查表得到。考试时，一般会直接给出。但需要注意的是，考试中系数是以符号的形式给出的。因此，对于有关系数的表示符号需要掌握。
【例题16·计算分析题】某人准备购房，开发商提出两个方案：方案一是现在一次性付款80万元;方案二是5年后付款100万元。若目前银行贷款利率为7%(按复利计息)，要求计算比较哪个付款方案较为有利。
【答案】
方案一的终值=80×(F/P，7%，5)=112.208(万元)>100(万元)。
由于方案二的终值小于方案一的终值，所以应该选择方案二。
【注意】
(1)如果其他条件不变，在期数为1时，复利终值和单利终值是相同的。
(2)在财务管理中，如果不加注明，一般均按照复利计算。
【结论】
(1)复利终值和复利现值互为逆运算;
(2)复利终值系数(1+i)n和复利现值系数1/(1+i)n互为倒数。
【提示】系数间的关系
单利终值系数与单利现值系数互为倒数关系
复利终值系数与复利现值系数互为倒数关系
(三)年金终值和年金现值的计算
年金是指一定时期内每次等额收付的系列款项。通常记作A。具有两个特点：一是金额相等;二是时间间隔相等。也可以理解为年金是指等额、定期的系列收支。在现实工作中年金应用很广泛。例如，分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入等，都属于年金收付形式。
年金按其每次收付款项发生的时点不同，可以分为四种：
普通年金(后付年金)：从第一期开始每期期末收款、付款的年金。
预付年金(先付年金、即付年金)：从第一期开始每期期初收款、付款的年金。与普通年金的区别仅在于付款时间的不同。
递延年金：从第二期或第二期以后开始每期期末收付的年金。
永续年金：无限期的普通年金。
注意：各种类型年金之间的关系
第一：普通年金和即付年金
区别：普通年金的款项收付发生在每期期末，即付年金的款项收付发生在每期期初。
联系：第一期均出现款项收付。
第二：递延年金和永续年金
二者都是在普通年金的基础上发展演变起来的，它们都是普通年金的特殊形式。它们与普通年金的共同点有：它们都是每期期末发生的。区别在于递延年金前面有一个递延期，也就是前面几期没有现金流，永续年金没有终点。
在年金的四种类型中，最基本的是普通年金，其他类型的年金都可以看成是普通年金的转化形式。
【提示】
1.这里的年金收付间隔的时间不一定是1年，可以是半年、一个季度或者一个月等。
2.这里年金收付的起止时间可以是从任何时点开始，如一年的间隔期，不一定是从1月1日至12月31日，可以是从当年7月1日至次年6月30日。
【例题17·判断题】年金是指每隔一年，金额相等的一系列现金流入或流出量。( )
【答案】×
【解析】在年金中，系列收付款项的时间间隔只要满足“相等”的条件即可。注意：如果本题改为“每隔一年，金额相等的一系列现金流入或流出量，是年金”则是正确的。即间隔期为一年，只是年金的一种情况。
1.普通年金终值的计算 (已知年金A，求终值F)
普通年金终值指一定时期内，每期期末等额收入或支出的本利和，也就是将每一期的金额，按复利换算到最后一期期末的终值，然后加总，就是该年金终值。
例如：每年存款1元，年利率为10%，经过5年，逐年的终值和年金终值，可计算如下：
1元1年的终值=1.000元(因为年末存入)
1元2年的终值=(1+10%)1=1.100(元)
1元3年的终值=(1+10%)2=1.210(元)
1元4年的终值=(1+10%)3=1.331(元)
1元5年的终值=(1+10%)4=1.464(元)
然后加总，1元年金5年的终值=6.105(元)
如果年金的期数很多，用上述方法计算终值显然相当繁琐。由于每年支付额相等，折算
终值的系数又是有规律的，所以，可找出简便的计算方法.
设每年的支付金额为A，利率为i，期数为n，则按复利计算的年金终值F为：
普通年金终值的计算公式：
F=A[(1+i)n-1]/i
年金终值系数(F/A，i，n)，平时做题可查表得到，考试时，一般会直接给出该系数。
【例11-5】小王是位热心于公众事业的人，自1995年12月底开始，他每年都要向一位失学儿童捐款。小王向这位失学儿童每年捐款1 000元，帮助这位失学儿童从小学一年级读完九年义务教育。假设每年定期存款利率都是2%，则小王九年捐款在2003年底相当于多少钱?
F=A[(1+i)n-1]/i=1 000×[(1+2%)9-1]/2%=9754.6(元)
或者：F=1 000×(F/A,2%,9)=1 000×9.7546=9754.6(元)
为了使大家更好的理解年金系数与复利系数之间的关系，请注意各个系数之间的关系：年金终值系数=(复利终值系数-1)/i
年金现值系数=(1-复利现值系数)/i
2.偿债基金的计算(已知终值F，求年金A)
偿债基金，是指为了在约定的未来一定时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金，也就是为使年金终值达到既定金额的年金数额。从计算的角度来看，就是在普通年金终值中解出A，这个A就是偿债基金。
计算公式如下：
式中，
【例11-7】某人拟在5年后还清10 000元债务，从现在起每年末等额存入银行一笔款项。假设银行利率为10%，则每年需存入多少元?
A=F×i/[(1+i)n-1]=10 000×10%/[1+10%)5-1]
=10 000×(A/F,10%,5)=10 000×0.1638=1 638(元)
结论(1)偿债基金和普通年金终值互为逆运算;
(2)偿债基金系数
【例题18·计算分析题】某企业有一笔4年后到期的借款，到期值为1 000万元。若存款年复利率为10%，则为偿还该项借款应建立的偿债基金为多少?(即：每年需存入多少钱?)
【答案】
1 000=A×(F/A，10%，4)
A=1 000/4.6410=215.5(万元)
3.普通年金现值(已知年金A，求普通年金现值P)
1-(1+i)-n
P=A×-------------=A×(P/A,i,n )
i
年金现值系数(P/A，i，n)，平时做题可查表得到，考试时，一般会直接给出该系数。
【例题19·计算分析题】某投资项目于2000年初动工，设当年投产，从投产之日起每年可得收益40 000元。按年利率6%计算，计算预期l0年收益的现值。(教材323页例题8)
【答案】P=40 000×(P/A，6%，l0)
=40 000×7.3601
=294 404(元)
4.年资本回收额的计算(已知普通年金现值P，求年金A)
年资本回收额，是指在约定年限内等额收回初始投入资本或清偿所欠的债务。从计算的角度看，就是在普通年金现值公式中解出A，这个A，就是资本回收额。计算公式如下：
上式中，
结论:
(1)年资本回收额与普通年金现值互为逆运算;
(2)资本回收系数与年金现值系数互为倒数。
5.即付年金终值
即付年金，又称为先付年金。是指每期期初等额收付的年金。
即付年金的终值，是指把即付年金每个等额A都换算成第n期期末的数值，再来求和。
简便计算方法
先将其看成普通年金，套用普通年金终值的计算公式，计算终值，得出来的是在最后一个A位置上的数值，即第n-1期期末的数值，再将其向前调整一期，得出要求的第n期期末的终值，即在普通年金终值的基础上，再乘以(1+i)。
F=A(F/A，i，n)(1+i)
【例题20·计算分析题】为给儿子上大学准备资金，王先生连续6年于每年年初存入银行3 000元。若银行存款利率为5%，则王先生在第6年末能一次取出本利和多少钱? (教材324页例题11)
【答案】F=A(F/A，i，n)(1+i)
=3 000×6.8019×(1+5%)
=21 426(元)
6.即付年金现值
即付年金现值，就是各期的年金分别求现值，然后累加起来。
简便计算方法
分两步进行。第一步，先把即付年金看成普通年金，套用普通年金现值的计算公式，计算现值。注意这样得出来的是第一个A前一期位置上的数值。第二步，进行调整。即把第一步计算出来的现值乘以(1+i)向后调整一期，即得出即付年金的现值。即在普通年金现值的基础上，再乘以(1+i)。
P=A(P/A，i，n)(1+i)
【例题21·计算分析题】张先生采用分期付款方式购入商品房一套，每年年初付款15 000元，分l0年付清。若银行利率为6%，该项分期付款相当于一次现金支付的购买价是多少? (教材325页例题13)
【答案】P=A·(P/A，i，n)×(1+i)
=15 000×7.3601×(1+6%)
=117 025.5(元)
总结：关于即付年金的现值与终值计算，都可以以普通年金的计算为基础进行，也就是在普通年金现值或终值的基础上，再乘以(1+i)。
7.递延年金终值
递延年金，是指第一次等额收付发生在第二期或第二期以后的年金。
计算递延年金终值和计算普通年金终值基本一样，只是注意扣除递延期即可。
F=A(F/A，i，n)
8.递延年金现值
计算方法很多种，简便方法是，先求递延年金终值，再折现为现值。
P=A×(F/A，i，n)×(P/F，i，m+n)
9.永续年金
永续年金，是指无限期等额收付的年金。
永续年金因为没有终止期，所以只有现值没有终值。
永续年金的现值，可以通过普通年金的计算公式导出。在普通年金的现值公式中，令n趋于无穷大，即可得出永续年金现值：P=A/i
【例题22·单选题】下列各项年金中，只有现值没有终值的年金是( )。
A.普通年金
B.即付年金
C.永续年金
D.先付年金
【答案】C
三、利率的计算
(一)复利计息方式下利率的计算
利用内插法计算利率。
i=i1 +
(二)名义利率与实际利率
如果以“年”作为基本计息期，每年计算一次复利，这种情况下的年利率是名义利率。如果按照短于一年的计息期计算复利，并将全年利息额除以年初的本金，此时得到的利率是实际利率。名义利率与实际利率的换算关系如下：
i=(1+r/m)m-1
式中，i为实际利率，r为名义利率,m为每年复利计息次数。
【例11-24】年利率为12%，按季复利计息，试求实际利率。
i=(1+r/m)m-l=(1+12%/4) 4-1=1.1255-1=12.55%
初级会计实务 
